¿Será el cero de la India?

Sabemos que el sistema de numeración arábiga, aunque de hecho se originó en la India, fue adoptado en esta época por la civilización islámica y después transmitido a occidente, donde, desde entonces, ha venido siendo utilizado académica y regularmente.

Los números naturales son de lo más importante que adoptó la matemática india. Pero fue sin duda Bhaskara el matemático hindú más importante; en el Lilavati y Vijaganita trata de ecuaciones lineales y cuadráticas como temas más importantes, y en el Siddhantasiromani trata de cuestiones aritméticas y trigonometría.

Hay una regla en el Aryabhatiya que señalan con orgullo los historiadores hindúes de la matemática, que es la siguiente2: “ Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000.El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000”. Aquí podemos ver utilizado el equivalente a 3,1416 como valor de π.

En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida, el resultado será el fruto del deseo. Esta es, desde luego, la regla bien conocida que nos dice que si  a/b=c/x  entonces  x=bc/a, donde a es <<la medida>>, b <<el fruto>>, c <<el deseo>> y x <<el fruto del deseo>>.

El sistema de numeración hindú es donde nos encontramos con un elemento nuevo que iba a dejar una huella permanente en la matemática de las generaciones futuras: el sistema de numeración posicional decimal. No se sabe exactamente de qué manera efectuaba sus cálculos Aryabhata, pero en su afirmación de que <<de un lugar a otro, cada uno es diez veces el que le precede>> hay una clara indicación de que en su mente estaba de una manera consciente la aplicación del principio posicional. La idea del <<valor local o posicional>> había sido ya un elemento absolutamente esencial del sistema de numeración babilónico, y quizá lo que los hindúes hicieron fue darse cuenta de que esta idea era aplicable también al sistema de notación decimal para los números enteros, que ya se estaba usando en la India.

Desgraciadamente los hindúes no aplicaron el nuevo sistema de numeración para los enteros al campo de las fracciones decimales, y así se perdió la ventaja potencial más importante del cambio de la notación de tipo jónico. La referencia específica más antigua a los numerales hindúes data del 662 y se encuentra en los escritos de Severo Sebokt, un obispo sirio. 

Sabemos también que por aquella época los numerales hindúes ya se habían estado usando durante bastante tiempo, como revela el hecho de que el primer documento propiamente hindú sea un plato que data del año 595, en el que aparece escrita la fecha del año 346 en notación decimal posicional.

El símbolo para el cero En la historia de las Matemáticas se presentan muchas situaciones anómalas, y no es precisamente la menor la que revela el hecho de que <<la primera aparición indudable del cero en la India es una inscripción del año 876>> No está demostrado ni siquiera que el número cero (en tanto que idea conceptualmente distinta de un símbolo para una posición vacía) surgiera al mismo tiempo que los otros nueve numerales hindúes.

Es muy posible, en cambio, que el cero tuviera su origen el mundo griego, quizá en Alejandría, y que desde allí se propagara a la India después de que el sistema decimal posicional se hubiera consolidado allí. El nuevo sistema de numeración que llamamos usualmente el sistema hindú no consiste más que en una nueva combinación de tres principios básicos, todos ellos con un origen mucho más antiguo: 1) una base decimal; 2) una notación posicional, y 3) una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos.

La India, de hecho, había desarrollado un ábaco escrito, al usar números escritos en lugar de guijarros y cuentas, dándoles los mismos signos sin importar la posición que tenían y utilizando un cero o un punto para indicar una columna vacía en el ábaco virtual.

El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números naturales fue sin duda una de las dos contribuciones más importante de la India a la historia de la matemática. La otra consistió en la introducción de lo equivalente a la función seno en trigonometría. La trigonometría hindú fue evidentemente una herramienta auxiliar para la astronomía tan útil como precisa.

La suma y la multiplicación se hacían en la India casi de la misma manera como las hacemos hoy, excepto en que los hindúes parecen haber preferido al principio escribir los números con las unidades de orden menor a la izquierda, y procedían por lo tanto de izquierda a derecha. Para explicar el esquema en el que se basa, lo mejor es recurrir a un par de ejemplos.  En el primero de ellos el número 456 aparece multiplicado por 34; el multiplicando está escrito en la parte superior del retículo y el multiplicador a la izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera que al sumar los dígitos en diagonal de arriba a la izquierda abajo a la derecha se obtiene el producto 15.504 que aparece en la parte inferior y derecha del rectángulo. En la figura 2 se da otro ejemplo para indicar que los datos se podían disponer también de otras maneras; aquí vemos el multiplicando 537 situado de nuevo en la parte superior y el multiplicador 24 en cambio a la derecha, mientras que el producto 12.888 se lee por la izquierda y la parte inferior del rectángulo.

No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el método de multiplicación por celosía, pero parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el siglo XII como mínimo, y de la India parece ser que se extendió a China y a Arabia. 

Para ilustrar este método, supongamos la división de 44.977 por 382; en la figura 2.1 aparece hecha esta división por el método moderno, y en la figura 2.2 por el método de la galera.

Brahmagupta entendió que los sistemas de numeración fueron más allá, a excepción de otros matemáticos del periodo. En esta obra él definió el cero como el resultado de restar un número de sí mismo. Él dio algunas propiedades:

1) Cuando el cero se suma a un número o se resta de un número, el número permanece inalterado.

2) Un número multiplicado por cero es cero.

Él también da reglas aritméticas en términos de fortunas (números positivos) y deudas (números negativos):

1) Una deuda menos el cero es una deuda.

2) Una fortuna menos el cero es una fortuna.

3) Una deuda restada del cero es una fortuna.

4) Una fortuna restada del cero es una deuda.

5) El producto de cero multiplicado por una deuda o fortuna es cero.

6) El producto o cociente de dos fortunas es una fortuna.

7) El producto o cociente de dos deudas es una fortuna.

8) El producto o cociente de una deuda y una fortuna es una deuda.

9) El producto o cociente de una fortuna y una deuda es una deuda.

Bramahgupta intentó extender la aritmética para incluir la división por cero, entonces:

1) Cero dividido por cero es cero.

2) Cero dividido por negativo o los números positivos son o cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador.

Realmente, Brahmagupta está diciendo que n dividido por cero es n/0. Él se equivoca cuando dice que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un esfuerzo inteligente de Brahmagupta por extender la aritmética.

En la India, las matemáticas tienen sus raíces en la literatura Védica, que tiene casi 4000 años. Entre el 1000a.c. y 1000d.c. los tratados eran autorizados por matemáticos indios en lo que era por primera vez el concepto para el cero, las técnicas para el álgebra y algoritmo, raíz cuadrada y raíz cúbica. Como en las ciencias aplicadas, tecnología de la producción, y arquitectura entre otras, los indios en tiempos antiguos hicieron también adelantos en ciencias abstractas como la Astronomía. Se ha aceptado ahora generalmente que la técnica de álgebra y el concepto de cero se originó en la India. Así la técnica de cómputo algebraico era conocida y se desarrolló en la India en tiempos más tempranos. Incluso en el área de la geometría, los matemáticos indios tenían su contribución. Algoritmo es un proceso de cálculo basado en números de la anotación decimal. Este método fue deducido por Al-Karismi de las técnicas indias de cálculo geométrico que él tenía.