Sabemos que el sistema de numeración arábiga, aunque de hecho se
originó en la India, fue adoptado en esta época por la civilización islámica y
después transmitido a occidente, donde, desde entonces, ha venido siendo
utilizado académica y regularmente.
Los números naturales son de lo más importante que adoptó la
matemática india. Pero fue sin duda Bhaskara el matemático hindú más importante;
en el Lilavati y Vijaganita trata de ecuaciones lineales y cuadráticas como
temas más importantes, y en el Siddhantasiromani trata de cuestiones
aritméticas y trigonometría.
Hay una regla en el Aryabhatiya que señalan con orgullo los
historiadores hindúes de la matemática, que es la siguiente2: “ Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale
62.000.El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo
diámetro es 20.000”. Aquí podemos ver utilizado el equivalente a 3,1416 como valor de π.
En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por
la medida, el resultado será el fruto del deseo. Esta es, desde luego, la regla
bien conocida que nos dice que si a/b=c/x entonces x=bc/a, donde a es <<la
medida>>, b <<el fruto>>, c <<el deseo>> y x <<el
fruto del deseo>>.
El sistema de numeración hindú es donde nos
encontramos con un elemento nuevo que iba a dejar una huella permanente en la
matemática de las generaciones futuras: el sistema de numeración posicional
decimal. No se sabe exactamente de qué manera efectuaba sus cálculos Aryabhata,
pero en su afirmación de que <<de
un lugar a otro, cada uno es diez veces el que le precede>> hay una
clara indicación de que en su mente estaba de una manera consciente la
aplicación del principio posicional. La idea del <<valor local o posicional>>
había sido ya un elemento absolutamente esencial del sistema de numeración
babilónico, y quizá lo que los hindúes hicieron fue darse cuenta de que esta idea
era aplicable también al sistema de notación decimal para los números enteros,
que ya se estaba usando en la India.
Desgraciadamente los hindúes no aplicaron el nuevo sistema de
numeración para los enteros al campo de las fracciones decimales, y así se
perdió la ventaja potencial más importante del cambio de la notación de tipo
jónico. La referencia específica más antigua a los numerales hindúes data del
662 y se encuentra en los escritos de Severo Sebokt, un obispo sirio.
Sabemos también que por aquella época los numerales hindúes ya se habían
estado usando durante bastante tiempo, como revela el hecho de que el primer documento
propiamente hindú sea un plato que data del año 595, en el que aparece escrita
la fecha del año 346 en notación decimal posicional.
El símbolo para el cero En la historia de las Matemáticas se
presentan muchas situaciones anómalas, y no es precisamente la menor la que
revela el hecho de que <<la primera aparición indudable del cero en la
India es una inscripción del año 876>> No está demostrado ni siquiera que
el número cero (en tanto que idea conceptualmente distinta de un símbolo para
una posición vacía) surgiera al mismo tiempo que los otros nueve numerales
hindúes.
Es muy posible, en cambio, que el cero tuviera su origen el mundo
griego, quizá en Alejandría, y que desde allí se propagara a la India después
de que el sistema decimal posicional se hubiera consolidado allí. El nuevo
sistema de numeración que llamamos usualmente el sistema hindú no consiste más
que en una nueva combinación de tres principios básicos, todos ellos con un
origen mucho más antiguo: 1) una base decimal; 2) una notación posicional, y 3)
una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos.
La India, de hecho, había desarrollado un ábaco escrito, al usar
números escritos en lugar de guijarros y cuentas, dándoles los mismos signos
sin importar la posición que tenían y utilizando un cero o un punto para
indicar una columna vacía en el ábaco virtual.
El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números
naturales fue sin duda una de las dos contribuciones más importante de la India
a la historia de la matemática. La otra consistió en la introducción de lo
equivalente a la función seno en trigonometría. La trigonometría hindú fue
evidentemente una herramienta auxiliar para la astronomía tan útil como
precisa.
La suma y la multiplicación se hacían en la India casi
de la misma manera como las hacemos hoy, excepto en que los hindúes parecen
haber preferido al principio escribir los números con las unidades de orden menor
a la izquierda, y procedían por lo tanto de izquierda a derecha. Para explicar
el esquema en el que se basa, lo mejor es recurrir a un par de ejemplos. En el primero de ellos el número 456 aparece multiplicado
por 34; el multiplicando está escrito en la parte superior del retículo y el multiplicador
a la izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera
que al sumar los dígitos en diagonal de arriba a la izquierda abajo a la
derecha se obtiene el producto 15.504 que aparece en la parte inferior y
derecha del rectángulo. En la figura 2 se da otro ejemplo para indicar que los
datos se podían disponer también de otras maneras; aquí vemos el multiplicando
537 situado de nuevo en la parte superior y el multiplicador 24 en cambio a la
derecha, mientras que el producto 12.888 se lee por la izquierda y la parte
inferior del rectángulo.
No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el método de
multiplicación por celosía, pero parece lo más probable que fuera en la India,
puesto que allí se utilizaba ya en el siglo XII como mínimo, y de la India
parece ser que se extendió a China y a Arabia.
Para ilustrar este método,
supongamos la división de 44.977 por 382; en la figura 2.1 aparece hecha esta
división por el método moderno, y en la figura 2.2 por el método de la galera.
Brahmagupta entendió que los sistemas de numeración fueron más
allá, a excepción de otros matemáticos del periodo. En esta obra él definió el
cero como el resultado de restar un número de sí mismo. Él dio algunas
propiedades:
1)
Cuando el cero se suma a un número o se resta de un número, el número permanece
inalterado.
2)
Un número multiplicado por cero es cero.
Él
también da reglas aritméticas en términos de fortunas (números positivos) y
deudas (números negativos):
1)
Una deuda menos el cero es una deuda.
2)
Una fortuna menos el cero es una fortuna.
3)
Una deuda restada del cero es una fortuna.
4)
Una fortuna restada del cero es una deuda.
5)
El producto de cero multiplicado por una deuda o fortuna es cero.
6)
El producto o cociente de dos fortunas es una fortuna.
7)
El producto o cociente de dos deudas es una fortuna.
8)
El producto o cociente de una deuda y una fortuna es una deuda.
9)
El producto o cociente de una fortuna y una deuda es una deuda.
Bramahgupta
intentó extender la aritmética para incluir la división por cero, entonces:
1)
Cero dividido por cero es cero.
2)
Cero dividido por negativo o los números positivos son o cero o se expresa como
una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador.
Realmente,
Brahmagupta está diciendo que n dividido por cero es n/0. Él se equivoca cuando
dice que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un esfuerzo inteligente
de Brahmagupta por extender la aritmética.
En la India, las matemáticas tienen sus raíces en la
literatura Védica, que tiene casi 4000 años. Entre el 1000a.c. y 1000d.c. los
tratados eran autorizados por matemáticos indios en lo que era por primera vez
el concepto para el cero, las técnicas para el álgebra y algoritmo, raíz
cuadrada y raíz cúbica. Como en las ciencias aplicadas, tecnología de la
producción, y arquitectura entre otras, los indios en tiempos antiguos hicieron
también adelantos en ciencias abstractas como la Astronomía. Se ha aceptado
ahora generalmente que la técnica de álgebra y el concepto de cero se originó
en la India. Así la técnica de cómputo algebraico era conocida y se desarrolló
en la India en tiempos más tempranos. Incluso en el área de la geometría, los matemáticos
indios tenían su contribución. Algoritmo es un proceso de cálculo basado en
números de la anotación decimal. Este método fue deducido por Al-Karismi de las
técnicas indias de cálculo geométrico que él tenía.
